Всего: 57 1–20 | 21–40 | 41–57
Добавить в вариант
Гриша нарисовал на плоскости выпуклый 100-угольник и провел все его диагонали, и, о чудо, ни в какой точке кроме вершин 100-угольника не пересеклось больше двух отрезков. Сколькими способами Гриша может обвести маркером часть имеющихся на рисунке линий, чтобы получить треугольник (не обязательно состоящий из целых диагоналей и, быть может, содержащий внутри себя не обведенные линии)?
Какое максимальное число треугольников с вершинами в вершинах правильного 18-ти угольника можно отметить так, чтобы никакие две различных стороны этих треугольников не были параллельны? Треугольники при этом могут пересекаться и иметь общие вершины, совпадающие отрезки считаются параллельными.
а) Квадрат размера 1 на 1 разбит на 25 не обязательно одинаковых прямоугольников, каждый из которых имеет одинаковый периметр p. Найти минимальное и максимальное возможное значение p. б) Можно ли разбить единичный квадрат на 30 не обязательно одинаковых прямоугольников периметра 2?
обозначим его стороны за x и y. По неравенству о среднем арифметическом и средним геометрическом имеем 
значит, периметр этого прямоугольника, равный 
не меньше 
Это значение достигается для разбиения квадрата на 25 одинаковых квадратиков со стороной 0,2.
даёт пример 
поэтому p максимальное точно больше 2. В любом разбиении единичного квадрата на 25 прямоугольников найдётся прямоугольник площади не больше 
и 
при этом 
и 
Следовательно, должен найтись такой x из интервала 
для которого 
Данная функция является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому её минимум на отрезке принимается в одном из концов этого отрезка. Соответствующие значения на концах равны 
Следовательно, 
и 
максимальное значение p равно 
б) Да, можно, способ указан в решении.В классе 25 учащихся. Для них были куплены билеты на один ряд в кинотеатре, состоящий из 25 мест, пронумерованных от 1 до 25. Несмотря на то, что каждый школьник получил индивидуальный билет, они сели на места своего ряда случайным образом. Какова вероятность того, что у каждого школьника для номера места N, на которое он сел, и номера места M, указанного в билете, выполнено неравенство M ≥ N − 3?
для всех k от 1 до 25. Число in может принимать 4 значения: n, n − 1, n − 2, n − 3. Число in − 1 может принимать 5 значений: n, n − 1, n − 2, n − 3, n − 4, кроме того значения, которое уже занято числом in, то есть тоже 4 значения.
а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если не существует треугольника с длинами сторон a, b, c, то нет и треугольника со сторонами
г) Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным тогда и только тогда, когда 
Относительно новой переменной имеем уравнение 
и только они, 
По определению геометрической вероятности, искомая вероятность равна отношению площади множества точек единичного квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству, т. е. площади подграфика функции 
к площади самого этого квадрата. Таким образом, эта вероятность равна интегралу 
тогда 
откуда и следует, что один из углов треугольника — прямой.а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной 
также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если 
то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
тогда 
и уравнение примет вид
(поскольку вероятность события 
равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия 
то есть 
Рассмотрим на координатной плоскость с координатами 
график функции 
и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
Проверим для самой большой из сторон 
неравенство треугольника 
что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим 
где все не выписанные слагаемые положительны.
получим
Более того, если 
то 
а 
и равенство невозможно. Итак, 
Аналогично 
где 
и треугольник является равнобедренным; либо 
где 
В одной прямоугольной половине квадрата 20 × 20 проведена единичная окружность, центр которой удален не менее, чем на 3 единицы от ее границы. Случайным образом на второй половине, не видя первую окружность, рисуется такая же единичная окружность. Какова вероятность того, что существует квадрат, две противолежащие вершины которого принадлежат окружностям, а две другие — общей границе этих половин?
Дан квадратный стол размера 20×20, на котором проведена диагональ. В одном из рассматриваемых треугольников дана окружность радиуса 1, центр которой удален от границ этого треугольника не менее чем на 3. В другом треугольнике случайным образом, не видя другой половины квадрата, проводится такая же окружность. Доказать, что вероятность того, что существует квадрат, два противоположных угла которого лежат на окружностях, а два других на общей границе этих треугольников не превосходит 10%.
а вся S = 8 · 18.На каждой из прямых x = 0 и x = 2 отмечено по 62 точки с ординатами 1, 2, 3, ..., 62. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 124 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
то есть 
Поскольку AH и BH — целые числа, то возможны следующие случаи: 
и 
и 
В первом из этих случаев гипотенузу AB, равную 4, можно расположить 
способами (по 
способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины C определяется однозначно.
способами. Для каждого положения гипотенузы существует два способа размещения вершины — получаем 
способов. 
способов. Итого получаем 
способов.
при подсчёте количества треугольников — снять 1 балл от общей суммы. На каждой из прямых y = 0 и y = 2 отмечено по 64 точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., 64. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 128 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
то есть 
способами (по 
способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины C определяется однозначно. Во втором и третьем случаях длина гипотенузы равна 5, и её можно расположить 
способами. Для каждого положения гипотенузы существует два способа размещения вершины — получаем 
способов. 
способа.
способов.На каждой из прямых y = 3 и y = 4 отмечено по 73 точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., 73. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 146 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
то есть 
Поскольку 
и BH — целые числа, 
способами (по 
способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины C определяется однозначно. 
способов.
способа.На каждой из прямых 
и 
отмечено по 58 точек с ординатами 1, 2, 3, ..., 58. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 116 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
способами (по 58−2 способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины C определяется однозначно. 
вершину A можно расположить 114 способами (подходят все точки кроме уже выбранных B и C) — всего выходит 
способов. 
способа.На каждой из прямых y = 1 и y = 6 отмечено по 200 точек с абсциссами
Поскольку AH и BH — целые числа, то возможны следующие случаи: 
и 
способами (по 200−10 способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины C определяется однозначно.
способов. 
лежит на одной из данных прямых. Тогда положение катета 
На каждой из прямых 
и 
отмечено по 400 точек с ординатами
данный треугольник с прямым углом при вершине C, CH — его высота, опущенная на гипотенузу. Из пропорциональности отрезков прямоугольного треугольника получаем, что 
Поскольку 
целые числа, то возможны следующие случаи: 
и 
способами (по 
способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины C определяется однозначно.
получаем 
способов. 
способов.
способов.На сторонах треугольника ABC отметили точки: 10 — на стороне AB, 11 — на стороне BC, 12 — на стороне AC. При этом ни одна из вершин треугольника не отмечена. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
способами. При этом треугольник образуется во всех случаях за исключением того, когда все три точки лежат на одной стороне треугольника. Итак, не подходят 
способов. 
треугольник.
и 
Возможны два варианта. 
и 
разделяют плоскость. Рассмотрим «левую нижнюю» вершину (её местоположение однозначно определяет остальные вершины). Для того, чтобы координаты всех вершин квадрата оказались неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы эта вершина попала в квадрат 
Получаем 
способов. 
один или оба множителя отличаются от верного на 1, то 1 балл На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют натуральные координаты, а центр находится в точке (55; 25). Найдите количество таких квадратов.
и 
Возможны два варианта. 
и 
разделяют плоскость. Рассмотрим «левую нижнюю» вершину (её местоположение однозначно определяет остальные вершины). Для того, чтобы координаты всех вершин квадрата оказались неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы эта вершина попала в квадрат 
Получаем 
способов. 
и 
и при этом площадь S фигуры, заданной системой неравенств
и 
Этот треугольник прямоугольный, его удвоенная площадь равна произведению катетов, т. е. ab. По условию ab : 5, поэтому одно из чисел a или b должно делиться на 5.
пар
таких, что 
и 
таких, что 
Кроме того, есть 
пар таких, что оба числа a и b делятся на 5. Тогда всего искомых пар 
эквивалентно условию 
—
и при этом площадь S фигуры, заданной системой неравенств
Этот треугольник прямоугольный, его удвоенная площадь равна произведению катетов, т. е. ab. По условию 
поэтому одно из чисел a или b должно делиться на 5.
пар
и 
пар
пар таких, что оба числа a и b делятся на 5. Тогда всего искомых пар 
и 
Возможны два варианта.
и 
разделяют плоскость. Рассмотрим «левую нижнюю» вершину (её местоположение однозначно определяет остальные вершины). Для того, чтобы координаты всех вершин квадрата оказались неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы эта вершина попала в квадрат 
Получаем 
способов. Общее количество способов равно 